Степенные Ряды Презентация
Глава «Степенные ряды». 1 §1 Степенной Ряд; Круг И Радиус Сходимости. 1 §2 Свойства степенных рядов в круге сходимости; понятие об аналитической функции. 3 §3 Ряд Тейлора.
- Дать читателю представление об основных признаках сходимости числовых рядов, рассмотреть степенные ряды и привести условия разложения функций. Рассмотреть примеры использования рядов в экономических исследованиях и применение рядов в приближенных вычислениях.
- Степенные ряды Лекции12, 13, 14 Функциональные ряды Ряд, члены которого являются функциями.
- Презентация на тему Степенные ряды к уроку математике.
Степенные Ряды Презентация
Вы можете ознакомиться и скачать Презентация по математике 'Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда' - скачать. Презентация содержит 17 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Вам понравились – поделитесь им.
Разложение функции вещественной переменной в ряд Тейлора. 4 §4 Ряды Тейлора для функций e x, sin(x), cos(x), ln(1+x).
Аналитические функции e z, sin(z), cos(z); формула Эйлера. 7 §5 Приложения рядов Тейлора для вычисления и интегрирования функций. 9 Глава «Степенные ряды» §1 Степенной Ряд; Круг И Радиус Сходимости. Пусть задана числовая последовательность. Определение 1. Степенным рядом называется ряд вида Замечания.
На комплексной плоскости или на числовой прямой степенной ряд определяет множество числовых рядов, одни из которых сходятся (абсолютно или условно), а другие – расходятся. Поэтому исследование степенного ряда сводится к установлению области его сходимости – множества 2. (а) Всякий степенной ряд сходится хотя бы в одной точке; (б) существуют степенные ряды, сходящиеся только в одной точке; (в) существуют степенные ряды, сходящиеся на всей комплексной плоскости. È S n(z 0)=a 0 è (б): ( в) Теорема (Область сходимости степенного ряда). «Если существует предел, то степенной ряд (1) сходится абсолютно в области ( внутри круга радиуса r с центром в точке z 0на комплексной плоскости; внутри отрезка (х 0-r, х 0+ r) – на числовой прямой) и (2) расходится в области.
» Док-во теоремы следует из признаков Коши и Даламбера абсолютной сходимости числового ряда: Замечания. Неотрицательное число r=1/q называется « радиусом сходимости степенного ряда». Очевидно, что, т.е. Существуют степенные ряды, сходящиеся только в одной точке( r=0), сходящиеся внутри круга конечного радиуса ( 0. Исследовать и изобразить на комплексной плоскости область сходимости степенного ряда §2 Свойства степенных рядов в круге сходимости; понятие об аналитической функции. Ряд сходится (абсолютно) в области D: z.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Степенные ряды Содержание 1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля 2. Свойства степенных рядов 3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций 4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена 5.
Приложения степенных рядов 1. Определение степенного ряда.
Теорема Абеля Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов. Определение 1.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида.(1.1) Здесь – постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а – некоторое постоянное число, х – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел. При степенной ряд (1.1) принимает вид. (1.2) Степенной ряд (1.1) называют рядом по степеням разности, ряд (1.2) – рядом по степеням х.
Если переменной х придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться. Определение 1.2. Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится. Ряд (1.1) с помощью подстановки приводится к более простому виду (1.2), поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида (1.2). Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема. Теорема 1.1 (Теорема Абеля): если степенной ряд (1.2) сходится при, то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству; если же ряд (1.2) расходится при, то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству. Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.
Теорема 1.2: область сходимости степенного ряда (1.2) совпадает с одним из следующих интервалов: 1); 2); 3); 4), где R – некоторое неотрицательное действительное число. Число R называется радиусом сходимости, интервал – интервалом сходимости степенного ряда (1.2). Если, то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось. Если, то интервал сходимости вырождается в точку. Замечание: если – интервал сходимости для степенного ряда (1.2), то – интервал сходимости для степенного ряда (1.1).
Из теоремы 1.2 следует, что для практического нахождения области сходимости степенного ряда (1.2) достаточно найти его радиус сходимости R и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости, т. Радиус сходимости R степенного ряда можно найти по одной из следующих формул: формула Даламбера:;(1.3) формула Коши:.(1.4) Если в формуле Коши, то полагают, если, то полагают. Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда. Решение Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле В нашем случае,. Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид. Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. При степенной ряд превращается в числовой ряд.
Который расходится как гармонический ряд. При степенной ряд превращается в числовой ряд. Это – знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной величине. Следовательно, по признаку Лейбница этот числовой ряд сходится. Таким образом, промежуток – область сходимости данного степенного ряда.
Свойства степенных рядов Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию, определенную в интервале сходимости, т. Приведем несколько свойств функции. Функция является непрерывной на любом отрезке, принадлежащем интервалу сходимости.
Функция дифференцируема на интервале, и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. Е., для всех. Неопределенный интеграл от функции для всех может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R не меняется, однако его сходимость на концах интервала может измениться. Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1.1). Рассмотрим степенной ряд. Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1.1, есть промежуток.
Почленно продифференцируем этот ряд:.(2.1) По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (2.1) есть интервал. Исследуем поведение этого ряда на концах интервала сходимости, т.
При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд. Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости:, который не существует. При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд, который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.
Следовательно, область сходимости степенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом. Ряды Тейлора, Маклорена для функций Пусть – дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки, т. Имеет производные любых порядков. Определение 3.1.
Рядом Тейлора функции в точке называется степенной ряд. (3.1) В частном случае при ряд (3.1) называется рядом Маклорена:. (3.2) Возникает вопрос: в каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции в окрестности точки совпадает с функцией? Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции сходится, однако его сумма не равна. Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции к этой функции.
Теорема 3.1: если в интервале функция имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т. Е., то ряд Тейлора этой функции сходится к для любого х из этого интервала, т. Имеет место равенство. Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.
Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена 1. Для этой функции,. По формуле (3.2) составим ряд Маклорена данной функции:. (3.3) Найдем радиус сходимости ряда (3.3) по формуле (1.3):. Следовательно, ряд (3.3) сходится при любом значении. Все производные функции на любом отрезке ограничены, т.
Матпрофи Ряды
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение. Для этой функции,. Отсюда следует, что при производные четного порядка равны нулю, а производные нечетного порядка чередуют знак с плюса на минус. По формуле (3.2) составим ряд Маклорена:.
При любом фиксированном значении этот ряд сходится как знакочередующийся по признаку Лейбница. Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение. Воспользуемся разложением (3.5) в ряд Маклорена функции и свойством 2 о дифференцировании степенного ряда. (3.6) Поскольку при почленном дифференцировании интервал сходимости степенного ряда не изменяется, то разложение (3.6) имеет место при любом.
Приведем без доказательства разложения других элементарных функций в ряды Маклорена. – биномиальный ряд ( – любое действительное число). Если – положительное целое число, то получаем бином Ньютона:. – логарифмический ряд. Приложения степенных рядов Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др. Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов. Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малых значениях х:;;;;;.
Литература 1. Высшая математика: Общий курс: Учебник – 2-е изд., перераб. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др.; Под общ. Шк., 2000.– 351. Марков Л.Н., Размыслович Г.П.
Сходимость
Высшая математика. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003.